十一． 迷人的分形控制了金融市场

　　我的“客户”所持有的每一个股票的背后都有一种基本面的因素，但是我想要说明的是正确的把握趋势可以使基本面更清楚。举例子说，在今后的六个月，我有各种理由说明那只生产农药的股票会不断上涨，又有理由说明它会不涨，我并不清楚哪种解释是正确的，但假如你拿枪指着我的脑袋，强迫我选择市场方向，我很可能会说：UP。从趋势选择的概率上来讲，市场认为向上的可能性超过了80%，就像你预备拿雨伞出门只是因为乌云密布，可是假如雨并没有下，你白白预备了一把雨伞也是可能和时有发生的。这种道理和分形的运用十分相似。

　　1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

　　从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川外形，从远距离观察，其外形是极不规则的。

　　在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川外形，从近距离观察，其局部外形又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述非线性系统的。

　　曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

　　我这里只能简单描述一下分形的定义：

　　（1）满足下式条件

　　Dim(A)dim(A)的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

　　（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

　　正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。

　　那么我们为什么要研究分形呢？首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要。美国闻名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。

　　由于熟悉到自然界布满了某种称为分形的事物，这使大多数人关注来自对我们四周见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。换言之，需构想或发现一些数学规则，

　　为看到分形是如何形成的，取一非常大的国际象棋棋盘，在棋盘中心置一皇后，她是不答应移动的。兵，答应它在棋盘上四个方向中的任何一个方向移动，从棋盘边缘上的随便什么起始点起步，按指示完成随机的，或醉酒者那样的走步。每一步的方向是从四个相等几率的方向中选定的。当一个兵到达紧靠原始皇后的一个方格，它自己就变成新的皇后，也就不能进一步移动了。最终，一个树枝状的，而不是网状的皇后群体逐渐形成，被称为“威顿-桑特DLA族”（“Witten Sander DLA cLUSTER”）。 大规模计算机模拟已经证实DLA族是分形；它们差不多是自相似的。

　　在外行看来，分形艺术似乎是魔术。但不会有任何数学家疏于了解它的结构和意义。许多作为基础的方程式被认为是纯数学的一部分，对真实世界没有任何用处，它所代表的真实自然现象还从没见过。最重要的是，正如已提到的，应用分形最活跃的领域是在物理学，它们已帮助处理了一些非常老的问题，也解决了某些崭新的困难问题。
 

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